Todos sabem que Fibonacci idealizou a sua sequência, após estudar a criação de coelhos com determinadas condições, e que, a partir de seus termos, podemos construir uma sequência que converge para o Número de Ouro dos gregos antigos (ver, por exemplo, RPM 45, p. 44-47). Tal sequência é muito famos em nossa literatura do Ensino Médio.
E, uma pergunta intrigante: será que existe outra sequência famosa?
A resposta, é Sim! Só que ela é pouco divulgada.
Então, partindo desse pressuposto vamos apresentá-la, usando a mesma ideia (a da reprodução dos coelhos) dada por Fibonacci e mostrar que a mesma também, curiosamente, converge para um número importante. Para isso considere uma população idealizada de coelhos que atenda os seguintes critérios:
[;1);] Esta população tem início com um único casal de coelhos recém-nascidos, que morrem logo após terem dado cria a outro casal de coelhos, o que ocorre ao final de um ano;
[;2);] A partir do segundo ano, nenhum coelho morre e cada casal de coelhos dá cria a outro casal de coelhos, se ele tiver apenas um ano de idade, ou dá cria a dois casais de coelhos, quando eles forem mais velhos.
Assim, vamos exibir a situação com a seguinte tabela:
Observe que a última coluna mostra o total de casais de coelhos, gerando assim, uma sequência, ou seja, [;1;],[;2;],[;5;],[;12;],[;29;];[;70;],[;\ldots;] Esta sequência é chamada de sequência de Pell* e, é definida pela recorrência [;P_{n+2} = 2P_{n+1} + P_n;] com [;P_0 = 0;], [;P_1 = 1;] e [;P_n;] é o enésimo termo da sequência para todo [;n \in \mathbb{N};]. Resolvendo esta recorrência, que se trata de uma recorrência linear de segunda ordem homogênea** (ver em [4]), temos a seguinte equação característica [;x^2 = 2x +1 \quad \Rightarrow \quad x^2 - 2x - 1 = 0;] de raízes [;1 \pm \sqrt{2};]. A raiz positiva é denotada por [;\delta;] (constante prateada) e a raiz negativa por [;\bar{\delta};].
Então a solução dessa recorrência é [;P_n = C_1(1 + \sqrt{2})^n + C_2(1 - \sqrt{2})^n;], onde [;C_1;] e [;C_2;] são as constantes. Agora, para determinar essas constantes, considere [;P_0 = 0;] e [;P_1 = 1;], ou seja,
[;\begin{cases}C_1 + C_2 = 0\\(1 + \sqrt{2})C_1 + (1 - \sqrt{2})C_2 = 1\end{cases} \quad \Rightarrow \quad C_1 = \sqrt{2}/4 \ \text{e} \ C_2 = -\sqrt{2}/4;]
de modo que [;P_n = \frac{\sqrt{2}(1 + \sqrt{2})^n - \sqrt{2}(1 - \sqrt{2})^n}{4};]. Ao calcular o limite desse termo geral, quando [;n;] fica muito grande, temos
[;\lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt{2}(1 + \sqrt{2})^n - \sqrt{2}(1 - \sqrt{2})}{4};]
e podemos verificar que a parcela [;-\sqrt{2}(1 - \sqrt{2})^n/4;] tem valor menor que [;1;]; logo quando o expoente [;n;] torna-se um número muito grande esta parcela tende a zero, podendo então ser desprezada, e reduzindo [;P_n;] para [;\frac{\sqrt{2}(1 + \sqrt{2})^n}{4};]. Fazendo [;P_n/P_{n-1};], esse quociente toma a forma de
[;\frac{P_n}{P_{n-1}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4}(1 + \sqrt{2})^n}{\frac{\sqrt{2}}{4}}(1 + \sqrt{2})^{n-1} = 1 + \sqrt{2} = \delta;]
Este número chama-se Número de Prata ou Razão de Prata que, também foi estudado pelos gregos, por estar relacionado com cálculos da raiz de [;2;] e com algumas razões trigonométricas.
Para aguçar a curiosidade do leitor, deixo como exercício, que pesquisem sobre a Sequência de Lucas, outra sequência famosa.
* matemático inglês John Pell [;(1611 - 1685);].
** No post Algumas Propriedades dos Números Prateados, apresentamos outro modo de resolver este problema.
Referências Bibliográficas:
[1] SHOKRANIAN, S. Uma Breve História da Teoria dos Números no Século Vinte. Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna, 2010.
[2] HEFEZ, A. Elementos de Aritmética, Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática/Coleção Textos Universitários, 2004.
[3] ÁVILA, G. Análise Matemática para Licenciatura, São Paulo: Editora Edgard Blucher, 2005.
[4] LIMA, E. L., CARVALHO, P.C.P., WAGNER, E., MORGADO, A. C.. A Matemática do Ensino Médio Volume 2, Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática. Coleção do Professor de Matemática, 2006
Artigo enviado por Carlos Alberto M. de Assis* e Thiago Barcellos Castilhos**
FONTE; http://fatosmatematicos.blogspot.com.br/
